首先來看單選題#
我們假設一道單選題為 5 分，可選 ABCD 四個選項，正確答案有且只有兩個，即單選題的合理選法有 A B C D 四種。
此處假設有一單選題：
張三對於此題完全不會，對張三來說：
選錯的概率為 $\frac {3}{4}$
選對的概率為 $\frac {1}{4}$
數學期望為：$5 \times \frac {1}{4} + 0 \times \frac {3}{4}= \frac {5}{4} = 1.25$
李四對於這道題有 $\frac {9}{10}$ 的概率做對，對李四來說：
選錯的概率為 $\frac {1}{10}$
選對的概率為 $\frac {9}{10}$
數學期望為：$5 \times \frac {9}{10} + 0 \times \frac {1}{10}= \frac {45}{10} = 4.5$
單選題似乎沒什麼意思，接下來我們來看多選題#
我們假設一道多選題也為 5 分，可選 ABCD 四個選項，正確答案為其中兩個或者三個，全部選對得 5 分，漏選得 2 分，不選和錯選不得分。
答案的可能有 AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD 10 種。
多選題的合理選法有 A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD 14 種。
此處假設有一多選題：
張三對於此題完全不會做，選擇蒙一個 A，對於張三來說：
得 0 分的概率為：$\frac {2}{5}$
得 2 分的概率為：$\frac {3}{5}$
得 5 分的概率為：0
數學期望為：$0 \times \frac {2}{5} + 2 \times \frac {3}{5} + 5 \times 0= \frac {6}{5} = 1.2$
李四對於此題也完全不會做，但他很勇，選擇蒙 AB，對於張三來說：
得 0 分的概率為：$\frac {7}{10}$
得 2 分的概率為：$\frac {1}{5}$
得 5 分的概率為：$\frac {1}{10}$
數學期望為：$0 \times \frac {7}{10} + 2 \times \frac {1}{5} + 5 \times \frac {1}{10}= \frac {9}{10} = 0.9$
王五對於此題也完全不會做，但他更勇，選擇蒙 ABC，對於張三來說：
得 0 分的概率為：$\frac {9}{10}$
得 2 分的概率為：0
得 5 分的概率為：$\frac {1}{10}$
數學期望為：$0 \times \frac {9}{10} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{10}= \frac {5}{10} = 0.5$
由上我們可見，對於一道完全不會的題，選的越少，數學期望越高。
但是在真實情況下，往往會有個別選項是確定的，例如此時小明，小金和小涛確定 A 選項正確。
此時，答案的可能有 AB AC AD ABC ABD ACD 6 種。
小明決定只選擇 A，對於小明來說：
得 0 分的概率為：0
得 2 分的概率為：1
得 5 分的概率為：0
數學期望為：$0 \times 0 + 2 \times 1 + 5 \times 0= 2$
小金決定選擇 AB，對於小金來說：
得 0 分的概率為：$\frac {1}{2}$
得 2 分的概率為：$\frac {1}{3}$
得 5 分的概率為：$\frac {1}{6}$
數學期望為：$0 \times \frac {1}{2} + 2 \times \frac {1}{3} + 5 \times \frac {1}{6}= \frac {3}{2} = 1.5$
小涛決定選擇 ABC，對於小涛來說：
得 0 分的概率為：$\frac {5}{6}$
得 2 分的概率為：0
得 5 分的概率為：$\frac {1}{6}$
數學期望為：$0 \times \frac {5}{6} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{6}= \frac {5}{6} \approx 0.83$
又例如此時小明，小金確定 AB 選項正確。
此時，答案的可能有 AB ABC ABD 3 種。
小明決定選擇 AB，對於小明來說：
得 0 分的概率為：0
得 2 分的概率為：$\frac {2}{3}$
得 5 分的概率為：$\frac {1}{3}$
數學期望為：$0 \times 0 + 2 \times \frac {2}{3} + 5 \times \frac {1}{3}= 3$
小金決定選擇 ABC，對於小金來說：
得 0 分的概率為：$\frac {2}{3}$
得 2 分的概率為：0
得 5 分的概率為：$\frac {1}{3}$
數學期望為：$0 \times \frac {2}{3} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{3}= \frac {5}{3} \approx 1.67$
這時我們似乎得出了結論，不完全確定的情況下，選得越少，數學期望越高，但真的是這樣嗎？
例如此時小明，小金和小涛確定 A 選項錯誤。
此時，答案的可能有 BC BD CD BCD 4 種。
小明決定只選擇 B，對於小明來說：
得 0 分的概率為：$\frac {1}{4}$
得 2 分的概率為：$\frac {3}{4}$
得 5 分的概率為：0
數學期望為：$0 \times \frac {1}{4} + 2 \times \frac {3}{4} + 5 \times 0= \frac {3}{2} = 1.5$
小金決定選擇 BC，對於小金來說：
得 0 分的概率為：$\frac {2}{4}$
得 2 分的概率為：$\frac {1}{4}$
得 5 分的概率為：$\frac {1}{4}$
數學期望為：$0 \times \frac {2}{4} + 2 \times \frac {1}{4} + 5 \times \frac {1}{4}= \frac {7}{4} = 1.75$
小涛決定選擇 BCD，對於小涛來說：
得 0 分的概率為：$\frac {3}{4}$
得 2 分的概率為：0
得 5 分的概率為：$\frac {1}{4}$
數學期望為：$0 \times \frac {3}{4} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{4}= \frac {5}{4} = 1.25$
又例如此時小明，小金和小涛確定 A 選項錯誤，B 選項正確。
此時，答案的可能有 BC BD BCD 3 種。
小明決定只選擇 B，對於小明來說：
得 0 分的概率為：0
得 2 分的概率為：1
得 5 分的概率為：0
數學期望為：$0 \times 0 + 2 \times 1 + 5 \times 0= 2$
小金決定選擇 BC，對於小金來說：
得 0 分的概率為：$\frac {1}{3}$
得 2 分的概率為：$\frac {1}{3}$
得 5 分的概率為：$\frac {1}{3}$
數學期望為：$0 \times \frac {1}{3} + 2 \times \frac {1}{3} + 5 \times \frac {1}{3}= \frac {7}{3} \approx 2.33$
小涛決定選擇 BCD，對於小涛來說：
得 0 分的概率為：$\frac {2}{3}$
得 2 分的概率為：0
得 5 分的概率為：$\frac {1}{3}$
數學期望為：$0 \times \frac {2}{3} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{3}= \frac {5}{3} \approx 1.67$
又例如此時小明，小金確定 A 選項錯誤，BC 選項正確。
此時，答案的可能有 BC BCD 2 種。
小明決定只選擇 BC，對於小明來說：
得 0 分的概率為：0
得 2 分的概率為：$\frac {1}{2}$
得 5 分的概率為：$\frac {1}{2}$
數學期望為：$0 \times 0 + 2 \times \frac {1}{2} + 5 \times \frac {1}{2}= \frac {7}{2}= 3.5$
小金決定選擇 BCD，對於小金來說：
得 0 分的概率為：$\frac {1}{2}$
得 2 分的概率為：0
得 5 分的概率為：$\frac {1}{2}$
數學期望為：$0 \times \frac {1}{2} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{2}= \frac {5}{2} = 2.5$
由上可見，在有一個選項確認是錯誤的情況下，選擇兩個的數學期望最大
但在只有一個選項確認正確的情況下，你會敢於冒得 0 分的風險去選兩個嗎？
此文由 Mix Space 同步更新至 xLog
原始鏈接為 https://blog.nepuko.cn/posts/default/Multiple-choice-probability-analysis