首先来看单选题#
我们假设一道单选题为 5 分，可选 ABCD 四个选项，正确答案有且只有两个，即单选题的合理选法有 A B C D 四种。
此处假设有一单选题：
张三对于此题完全不会，对张三来说：
选错的概率为 $\frac {3}{4}$
选对的概率为 $\frac {1}{4}$
数学期望为：$5 \times \frac {1}{4} + 0 \times \frac {3}{4}= \frac {5}{4} = 1.25$
李四对于这道题有 $\frac {9}{10}$ 的概率做对，对李四来说：
选错的概率为 $\frac {1}{10}$
选对的概率为 $\frac {9}{10}$
数学期望为：$5 \times \frac {9}{10} + 0 \times \frac {1}{10}= \frac {45}{10} = 4.5$
单选题似乎没什么意思，接下来我们来看多选题#
我们假设一道多选题也为 5 分，可选 ABCD 四个选项，正确答案为其中两个或者三个，全部选对得 5 分，漏选得 2 分，不选和错选不得分。
答案的可能有 AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD 10 种。
多选题的合理选法有 A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD 14 种。
此处假设有一多选题：
张三对于此题完全不会做，选择蒙一个 A，对于张三来说：
得 0 分的概率为：$\frac {2}{5}$
得 2 分的概率为：$\frac {3}{5}$
得 5 分的概率为：0
数学期望为：$0 \times \frac {2}{5} + 2 \times \frac {3}{5} + 5 \times 0= \frac {6}{5} = 1.2$
李四对于此题也完全不会做，但他很勇，选择蒙 AB，对于张三来说：
得 0 分的概率为：$\frac {7}{10}$
得 2 分的概率为：$\frac {1}{5}$
得 5 分的概率为：$\frac {1}{10}$
数学期望为：$0 \times \frac {7}{10} + 2 \times \frac {1}{5} + 5 \times \frac {1}{10}= \frac {9}{10} = 0.9$
王五对于此题也完全不会做，但他更勇，选择蒙 ABC，对于张三来说：
得 0 分的概率为：$\frac {9}{10}$
得 2 分的概率为：0
得 5 分的概率为：$\frac {1}{10}$
数学期望为：$0 \times \frac {9}{10} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{10}= \frac {5}{10} = 0.5$
由上我们可见，对于一道完全不会的题，选的越少，数学期望越高。
但是在真实情况下，往往会有个别选项是确定的，例如此时小明，小金和小涛确定 A 选项正确。
此时，答案的可能有 AB AC AD ABC ABD ACD 6 种。
小明决定只选择 A，对于小明来说：
得 0 分的概率为：0
得 2 分的概率为：1
得 5 分的概率为：0
数学期望为：$0 \times 0 + 2 \times 1 + 5 \times 0= 2$
小金决定选择 AB，对于小金来说：
得 0 分的概率为：$\frac {1}{2}$
得 2 分的概率为：$\frac {1}{3}$
得 5 分的概率为：$\frac {1}{6}$
数学期望为：$0 \times \frac {1}{2} + 2 \times \frac {1}{3} + 5 \times \frac {1}{6}= \frac {3}{2} = 1.5$
小涛决定选择 ABC，对于小涛来说：
得 0 分的概率为：$\frac {5}{6}$
得 2 分的概率为：0
得 5 分的概率为：$\frac {1}{6}$
数学期望为：$0 \times \frac {5}{6} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{6}= \frac {5}{6} \approx 0.83$
又例如此时小明，小金确定 AB 选项正确。
此时，答案的可能有 AB ABC ABD 3 种。
小明决定选择 AB，对于小明来说：
得 0 分的概率为：0
得 2 分的概率为：$\frac {2}{3}$
得 5 分的概率为：$\frac {1}{3}$
数学期望为：$0 \times 0 + 2 \times \frac {2}{3} + 5 \times \frac {1}{3}= 3$
小金决定选择 ABC，对于小金来说：
得 0 分的概率为：$\frac {2}{3}$
得 2 分的概率为：0
得 5 分的概率为：$\frac {1}{3}$
数学期望为：$0 \times \frac {2}{3} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{3}= \frac {5}{3} \approx 1.67$
这时我们似乎得出了结论，不完全确定的情况下，选得越少，数学期望越高，但真的是这样吗？
例如此时小明，小金和小涛确定 A 选项错误。
此时，答案的可能有 BC BD CD BCD 4 种。
小明决定只选择 B，对于小明来说：
得 0 分的概率为：$\frac {1}{4}$
得 2 分的概率为：$\frac {3}{4}$
得 5 分的概率为：0
数学期望为：$0 \times \frac {1}{4} + 2 \times \frac {3}{4} + 5 \times 0= \frac {3}{2} = 1.5$
小金决定选择 BC，对于小金来说：
得 0 分的概率为：$\frac {2}{4}$
得 2 分的概率为：$\frac {1}{4}$
得 5 分的概率为：$\frac {1}{4}$
数学期望为：$0 \times \frac {2}{4} + 2 \times \frac {1}{4} + 5 \times \frac {1}{4}= \frac {7}{4} = 1.75$
小涛决定选择 BCD，对于小涛来说：
得 0 分的概率为：$\frac {3}{4}$
得 2 分的概率为：0
得 5 分的概率为：$\frac {1}{4}$
数学期望为：$0 \times \frac {3}{4} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{4}= \frac {5}{4} = 1.25$
又例如此时小明，小金和小涛确定 A 选项错误，B 选项正确。
此时，答案的可能有 BC BD BCD 3 种。
小明决定只选择 B，对于小明来说：
得 0 分的概率为：0
得 2 分的概率为：1
得 5 分的概率为：0
数学期望为：$0 \times 0 + 2 \times 1 + 5 \times 0= 2$
小金决定选择 BC，对于小金来说：
得 0 分的概率为：$\frac {1}{3}$
得 2 分的概率为：$\frac {1}{3}$
得 5 分的概率为：$\frac {1}{3}$
数学期望为：$0 \times \frac {1}{3} + 2 \times \frac {1}{3} + 5 \times \frac {1}{3}= \frac {7}{3} \approx 2.33$
小涛决定选择 BCD，对于小涛来说：
得 0 分的概率为：$\frac {2}{3}$
得 2 分的概率为：0
得 5 分的概率为：$\frac {1}{3}$
数学期望为：$0 \times \frac {2}{3} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{3}= \frac {5}{3} \approx 1.67$
又例如此时小明，小金确定 A 选项错误，BC 选项正确。
此时，答案的可能有 BC BCD 2 种。
小明决定只选择 BC，对于小明来说：
得 0 分的概率为：0
得 2 分的概率为：$\frac {1}{2}$
得 5 分的概率为：$\frac {1}{2}$
数学期望为：$0 \times 0 + 2 \times \frac {1}{2} + 5 \times \frac {1}{2}= \frac {7}{2}= 3.5$
小金决定选择 BCD，对于小金来说：
得 0 分的概率为：$\frac {1}{2}$
得 2 分的概率为：0
得 5 分的概率为：$\frac {1}{2}$
数学期望为：$0 \times \frac {1}{2} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{2}= \frac {5}{2} = 2.5$
由上可见，在有一个选项确认是错误的情况下，选择两个的数学期望最大
但在只有一个选项确认正确的情况下，你会敢于冒得 0 分的风险去选两个吗？
此文由 Mix Space 同步更新至 xLog
原始链接为 https://blog.nepuko.cn/posts/default/Multiple-choice-probability-analysis