まずは単選択問題を見てみましょう#
私たちは 1 つの単選択問題が 5 点で、選択肢は A、B、C、D の 4 つであり、正解は 2 つだけあると仮定します。つまり、単選択問題の合理的な選択肢は A、B、C、D の 4 種類です。
ここで、1 つの単選択問題を仮定します：
張三はこの問題に全く答えられず、張三にとって：
間違える確率は $\frac {3}{4}$
正解する確率は $\frac {1}{4}$
数学的期待値は：$5 \times \frac {1}{4} + 0 \times \frac {3}{4}= \frac {5}{4} = 1.25$
李四はこの問題に対して $\frac {9}{10}$ の確率で正解し、李四にとって：
間違える確率は $\frac {1}{10}$
正解する確率は $\frac {9}{10}$
数学的期待値は：$5 \times \frac {9}{10} + 0 \times \frac {1}{10}= \frac {45}{10} = 4.5$
単選択問題はあまり意味がないように見えますので、次に多選択問題を見てみましょう#
私たちは 1 つの多選択問題も 5 点で、選択肢は A、B、C、D の 4 つであり、正解はその中の 2 つまたは 3 つで、すべて正解すれば 5 点、選択漏れで 2 点、選択しないか間違えた場合は得点なしです。
答えの可能性は AB、AC、AD、BC、BD、CD、ABC、ABD、ACD、BCD の 10 種類です。
多選択問題の合理的な選択肢は A、B、C、D、AB、AC、AD、BC、BD、CD、ABC、ABD、ACD、BCD の 14 種類です。
ここで、1 つの多選択問題を仮定します：
張三はこの問題に全く答えられず、選択肢 A を選ぶと仮定します。張三にとって：
0 点を得る確率は：$\frac {2}{5}$
2 点を得る確率は：$\frac {3}{5}$
5 点を得る確率は：0
数学的期待値は：$0 \times \frac {2}{5} + 2 \times \frac {3}{5} + 5 \times 0= \frac {6}{5} = 1.2$
李四もこの問題に全く答えられませんが、彼は非常に勇敢で、AB を選ぶと仮定します。李四にとって：
0 点を得る確率は：$\frac {7}{10}$
2 点を得る確率は：$\frac {1}{5}$
5 点を得る確率は：$\frac {1}{10}$
数学的期待値は：$0 \times \frac {7}{10} + 2 \times \frac {1}{5} + 5 \times \frac {1}{10}= \frac {9}{10} = 0.9$
王五もこの問題に全く答えられませんが、彼はさらに勇敢で、ABC を選ぶと仮定します。王五にとって：
0 点を得る確率は：$\frac {9}{10}$
2 点を得る確率は：0
5 点を得る確率は：$\frac {1}{10}$
数学的期待値は：$0 \times \frac {9}{10} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{10}= \frac {5}{10} = 0.5$
ここからわかるように、全くわからない問題に対して、選択肢が少ないほど数学的期待値が高くなります。
しかし、実際の状況では、確定した選択肢があることが多いです。例えば、この時、小明、小金と小涛は A 選択肢が正しいことを確信しています。
この時、答えの可能性は AB、AC、AD、ABC、ABD、ACD の 6 種類です。
小明は A だけを選ぶことに決めました。小明にとって：
0 点を得る確率は：0
2 点を得る確率は：1
5 点を得る確率は：0
数学的期待値は：$0 \times 0 + 2 \times 1 + 5 \times 0= 2$
小金は AB を選ぶことに決めました。小金にとって：
0 点を得る確率は：$\frac {1}{2}$
2 点を得る確率は：$\frac {1}{3}$
5 点を得る確率は：$\frac {1}{6}$
数学的期待値は：$0 \times \frac {1}{2} + 2 \times \frac {1}{3} + 5 \times \frac {1}{6}= \frac {3}{2} = 1.5$
小涛は ABC を選ぶことに決めました。小涛にとって：
0 点を得る確率は：$\frac {5}{6}$
2 点を得る確率は：0
5 点を得る確率は：$\frac {1}{6}$
数学的期待値は：$0 \times \frac {5}{6} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{6}= \frac {5}{6} \approx 0.83$
また、例えばこの時、小明と小金は AB 選択肢が正しいことを確信しています。
この時、答えの可能性は AB、ABC、ABD の 3 種類です。
小明は AB を選ぶことに決めました。小明にとって：
0 点を得る確率は：0
2 点を得る確率は：$\frac {2}{3}$
5 点を得る確率は：$\frac {1}{3}$
数学的期待値は：$0 \times 0 + 2 \times \frac {2}{3} + 5 \times \frac {1}{3}= 3$
小金は ABC を選ぶことに決めました。小金にとって：
0 点を得る確率は：$\frac {2}{3}$
2 点を得る確率は：0
5 点を得る確率は：$\frac {1}{3}$
数学的期待値は：$0 \times \frac {2}{3} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{3}= \frac {5}{3} \approx 1.67$
この時、私たちは結論を出したようです。完全に確定していない場合、選択肢が少ないほど数学的期待値が高くなりますが、本当にそうでしょうか？
例えばこの時、小明、小金と小涛は A 選択肢が間違っていることを確信しています。
この時、答えの可能性は BC、BD、CD、BCD の 4 種類です。
小明は B だけを選ぶことに決めました。小明にとって：
0 点を得る確率は：$\frac {1}{4}$
2 点を得る確率は：$\frac {3}{4}$
5 点を得る確率は：0
数学的期待値は：$0 \times \frac {1}{4} + 2 \times \frac {3}{4} + 5 \times 0= \frac {3}{2} = 1.5$
小金は BC を選ぶことに決めました。小金にとって：
0 点を得る確率は：$\frac {2}{4}$
2 点を得る確率は：$\frac {1}{4}$
5 点を得る確率は：$\frac {1}{4}$
数学的期待値は：$0 \times \frac {2}{4} + 2 \times \frac {1}{4} + 5 \times \frac {1}{4}= \frac {7}{4} = 1.75$
小涛は BCD を選ぶことに決めました。小涛にとって：
0 点を得る確率は：$\frac {3}{4}$
2 点を得る確率は：0
5 点を得る確率は：$\frac {1}{4}$
数学的期待値は：$0 \times \frac {3}{4} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{4}= \frac {5}{4} = 1.25$
また、例えばこの時、小明、小金と小涛は A 選択肢が間違っていることを確信し、B 選択肢が正しいことを確信しています。
この時、答えの可能性は BC、BD、BCD の 3 種類です。
小明は B だけを選ぶことに決めました。小明にとって：
0 点を得る確率は：0
2 点を得る確率は：1
5 点を得る確率は：0
数学的期待値は：$0 \times 0 + 2 \times 1 + 5 \times 0= 2$
小金は BC を選ぶことに決めました。小金にとって：
0 点を得る確率は：$\frac {1}{3}$
2 点を得る確率は：$\frac {1}{3}$
5 点を得る確率は：$\frac {1}{3}$
数学的期待値は：$0 \times \frac {1}{3} + 2 \times \frac {1}{3} + 5 \times \frac {1}{3}= \frac {7}{3} \approx 2.33$
小涛は BCD を選ぶことに決めました。小涛にとって：
0 点を得る確率は：$\frac {2}{3}$
2 点を得る確率は：0
5 点を得る確率は：$\frac {1}{3}$
数学的期待値は：$0 \times \frac {2}{3} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{3}= \frac {5}{3} \approx 1.67$
また、例えばこの時、小明と小金は A 選択肢が間違っていることを確信し、BC 選択肢が正しいことを確信しています。
この時、答えの可能性は BC、BCD の 2 種類です。
小明は BC だけを選ぶことに決めました。小明にとって：
0 点を得る確率は：0
2 点を得る確率は：$\frac {1}{2}$
5 点を得る確率は：$\frac {1}{2}$
数学的期待値は：$0 \times 0 + 2 \times \frac {1}{2} + 5 \times \frac {1}{2}= \frac {7}{2}= 3.5$
小金は BCD を選ぶことに決めました。小金にとって：
0 点を得る確率は：$\frac {1}{2}$
2 点を得る確率は：0
5 点を得る確率は：$\frac {1}{2}$
数学的期待値は：$0 \times \frac {1}{2} + 2 \times 0 + 5 \times \frac {1}{2}= \frac {5}{2} = 2.5$
ここからわかるように、1 つの選択肢が間違っていることが確認されている場合、2 つ選ぶことの数学的期待値が最大です
しかし、1 つの選択肢が正しいことが確認されている場合、あなたは 2 つ選ぶリスクを冒すことができますか？
この記事は Mix Space によって xLog に同期更新されています
元のリンクは https://blog.nepuko.cn/posts/default/Multiple-choice-probability-analysis